Como provar matematicamente que um bêbado sempre consegue voltar para casa

O Dul7, o CEO modafoca do Papo de Bêbado, talvez não saiba disso, mas há uma maneira matemática de provar que um bêbado sempre consegue voltar para casa sozinho, desde que tenha condições de caminhar.
Para provar este fato (ou pelo menos dar bons argumentos de que ele é verdadeiro), utilizarei Cadeias de Markov, um conceito matemático introduzido no século XX pelo probabilista russo Andrey Markov.
As Cadeias de Markov possuem uma propriedade simples. Para saber a probabilidade de uma variável aleatória mudar para o estado seguinte, basta que conheçamos seu estado atual. Os estados anteriores podem ser ignorados. Parece complicado, mas a partir do próximo parágrafo, esta ideia se tornará mais fácil de ser entendida.
Mas antes de atacar o problema do bêbado, vou apresentar um conceito mais simples, que depois será estendido para resolver o problema desejado.
O conceito que desejo apresentar é o de Cadeia de Markov. Vou começar pelo exemplo mais simples existente: o passeio aleatório em uma dimensão. Nele, dado que uma partícula está na posição i_n, a chance dela ir para a posição i_n+1 é p, enquanto a chance dela ir para i_n-1 é 1-p.
Matematicamente, podemos expressar isto como

e

.

Assim, o passeio aleatório é dado pela soma destas posições no tempo, ou seja,

Se pensarmos em p=0.5, o passeio aleatório nada mais é do que jogar uma moeda honesta e caminhar na direção que ela indica. Por exemplo, suponha que cara indica um passo para frente e coroa, um passo para trás.
Note que, ao jogar uma moeda algumas dezenas de vezes, não é difícil perceber que o número de caras e de coroas se equivalem. Assim, alguém que começa a se movimentar de acordo com a suposição do parágrafo anterior, invariavelmente voltará ao ponto de partida, inclusive se o espaço disponível para caminhar for infinito.

^{Oito exemplos de passeio aleatório. Note que a maioria, mesmo em apenas 100 passos, acaba voltando à origem (altura zero).}

Mas perceba que construí meu argumento em cima de apenas uma dimensão. Extrapolando esta mesma ideia para duas dimensões, onde podemos usar um dado de quatro lados para caminhar (o popular tetraedro), teremos o mesmo resultado.
Portanto, um bêbado, caminhando aleatoriamente, acabará voltando para casa, desde que tenha tempo suficiente para isso e que se movimente de maneira discreta, apenas indo para frente/trás e para a esquerda/direita.